Ejercicios 2º Bachillerato

Ejercicios de Matemáticas – 2º Bachillerato

  1. Integrales. Calcula la integral definida: ∫01 x² e^(x³) dx.

    Solución: (1/3)(e − 1)

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    Hacemos el cambio de variable t = x³, de modo que dt = 3x² dx y x² dx = dt/3. Cuando x=0, t=0; cuando x=1, t=1. La integral queda:
    ∫01 x² e^(x³) dx = (1/3)∫01 e^t dt = (1/3)[e^t]₀¹ = (1/3)(e − 1).

  2. Límites. Calcula el límite: limx→ 1 (x² − 1)/(x − 1).

    Solución: 2

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    Factorizamos el numerador: x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Entonces la fracción se simplifica a x + 1 (para x ≠ 1). Evaluando en x = 1 obtenemos 2.

  3. Derivadas. Halla la derivada de f(x) = ln(x² + 1).

    Solución: 2x/(x² + 1)

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    Aplicamos la regla de la cadena. Si u = x² + 1, entonces du = 2x dx y d(ln u)/dx = u’/u = 2x/(x² + 1).

  4. Ecuaciones exponenciales. Resuelve 3^x = 81.

    Solución: 4

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    Escribimos 81 como potencia de 3: 81 = 3⁴. Al igualar exponentes se obtiene x = 4.

  5. Sistemas de ecuaciones. Resuelve el sistema:
    2x + y − z = 1;
    x − 2y + 3z = 4;
    3x + y + 2z = 5.

    Solución: x = 1,  y = 0,  z = 1

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    Al restar y combinar ecuaciones se obtiene y = z − 1. Sustituyendo en una ecuación reducida se llega a z = 1. Finalmente x se determina de 2x − 1 = 1 → x = 1.

  6. Determinantes. Calcula el determinante de la matriz:
    | 1  2  3 |
    | 4  0  −1 |
    | 2  −2  1 |.

    Solución: −38

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    Aplicando la fórmula del determinante de 3×3:
    det = 1·(0· 1 − (−1)(−2)) − 2·(4·1 − (−1)·2) + 3·(4·(−2) − 0·2) = −2 − 12 − 24 = −38.

  7. Geometría. Encuentra la ecuación del plano que pasa por P(1,0,0), Q(0,2,0) y R(0,0,3).

    Solución: 6x + 3y + 2z = 6

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    Los vectores PQ = (−1, 2, 0) y PR = (−1, 0, 3) definen el plano. Su producto vectorial es (6, 3, 2). Usando P como punto, la ecuación es 6(x −1) + 3(y −0) + 2(z −0) = 0 → 6x + 3y + 2z = 6.

  8. Series. Calcula la suma de la serie geométrica: ∑k=0^4 3· 2^k.

    Solución: 93

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    La serie tiene primer término 3, razón 2 y 5 términos. La suma es 3·(2^5 − 1)/(2 − 1) = 3· 31 = 93. Sumando manualmente: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93.

  9. Integrales. Calcula ∫ sin x · cos x dx.

    Solución: (1/2)· sin² x + C

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    Tomamos u = sin x, de modo que du = cos x dx. La integral se convierte en ∫ u du = (1/2) u² + C = (1/2)· sin² x + C.

  10. Números complejos. Multiplica (2 + 3i)(1 − i).

    Solución: 5 + i

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    Distribuimos los factores: (2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i^2. Como i^2 = −1, el último término es −3·(−1) = 3. Sumando partes reales e imaginarias obtenemos 5 + i.

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