1º Bach – Matemáticas: Vectores

Vectores

  1. Dados los vectores u = (2, 3) y v = (4, −1), calcula el producto escalar u·v. 5
    Ver resolución El producto escalar se calcula multiplicando las componentes y sumándolas: 2·4 + 3·(−1) = 8 − 3 = 5.
  2. Comprueba si los vectores a = (2, −1) y b = (1, 2) son perpendiculares. Sí, su producto escalar es 0
    Ver resolución El producto escalar es 2·1 + (−1)·2 = 2 − 2 = 0. Si el producto escalar es cero, los vectores son perpendiculares.
  3. Calcula el ángulo entre los vectores p = (3, −1) y q = (2, 4). ≈81,9°
    Ver resolución Se usa la fórmula u·v = |u||v|cos θ. El producto escalar es 3·2 + (−1)·4 = 2. Los módulos son |p| = √(3^2+1^2) = √10 y |q| = √(2^2+4^2) = √20. Entonces cosθ = 2/(√10·√20) = 2/√200 ≈ 0,1414. Por tanto θ ≈ arccos(0,1414) ≈ 81,9°.
  4. Halla un vector unitario en la dirección de w = (6, −8). (0,6, −0,8)
    Ver resolución Primero se calcula el módulo de w: √(6^2+(−8)^2) = √(36+64) = √100 = 10. El vector unitario es w/|w| = (6/10, −8/10) = (0,6, −0,8).
  5. ¿Son paralelos los vectores m = (4, 6) y n = (2, 3)? Sí
    Ver resolución m es el doble de n, pues 4/2 = 2 y 6/3 = 2. Cuando las razones de las componentes son iguales, los vectores son paralelos.
  6. Determina el valor de k para que los vectores u = (k, 3) y v = (2, k) sean perpendiculares. k = 0
    Ver resolución Para que dos vectores sean perpendiculares su producto escalar debe ser cero: k·2 + 3·k = 2k + 3k = 5k = 0 ⇒ k = 0.
  7. Descompón el vector r = (5, 3) como combinación lineal de e = (1, 1) y f = (1, −1). r = 4 e + 1 f
    Ver resolución Sea r = αe + βf. Entonces se plantean las ecuaciones: α + β = 5 y α − β = 3. Sumando ambas se obtiene 2α = 8 ⇒ α = 4. Restando se tiene 2β = 2 ⇒ β = 1. Por tanto r = 4e + 1f.
  8. Halla el módulo y el ángulo de dirección del vector v = (−3, 4). |v| = 5; θ ≈ 126,9°
    Ver resolución El módulo es |v| = √((−3)^2 + 4^2) = √(9+16) = √25 = 5. El ángulo lo obtenemos con tan θ = y/x = 4/(−3) = −4/3; el ángulo en el segundo cuadrante es θ ≈ 180° − arctan(4/3) ≈ 180° − 53,1° = 126,9°.
  9. Dadas A(2, 5) y B(−1, 9), calcula el vector →AB y su módulo. AB = (−3, 4); |AB| = 5
    Ver resolución El vector AB se obtiene restando las coordenadas: (−1 − 2, 9 − 5) = (−3, 4). Su módulo es √((−3)^2 + 4^2) = 5.
  10. Descompón el vector u = (3, 5) en componentes a lo largo de a = (1, 2) y b = (2, −1). u = 2,6 a + 0,2 b
    Ver resolución Si u = αa + βb, se tienen las ecuaciones: α + 2β = 3 y 2α − β = 5. Resolviendo: de la primera α = 3 − 2β. Sustituido en la segunda: 2(3 − 2β) − β = 5 ⇒ 6 − 4β − β = 5 ⇒ −5β = −1 ⇒ β = 0,2. Sustituyendo, α = 3 − 0,4 = 2,6. Por tanto u = 2,6a + 0,2b.
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