Resuelve la ecuación sin x = 1/2 para 0° ≤ x ≤ 360°.
x = 30°, 150°Ver resolución
El seno vale 1/2 en los cuadrantes I y II. Los ángulos correspondientes son 30° y 180° − 30° = 150°.
Resuelve cos x = √3/2 para 0 ≤ x < 2π.
x = π/6, 11π/6Ver resolución
El coseno es √3/2 en los cuadrantes I y IV. En radianes los valores son x = π/6 y 2π − π/6 = 11π/6.
Resuelve 2·sin x − 1 = 0 para 0° ≤ x ≤ 360°.
x = 30°, 150°Ver resolución
Se despeja sin x = 1/2 y se procede como en el ejercicio 1.
Resuelve tan x = −1 para 0° ≤ x ≤ 360°.
x = 135°, 315°Ver resolución
La tangente es −1 en los cuadrantes II y IV. Los ángulos son 180° − 45° = 135° y 360° − 45° = 315°.
Dado sin α = 4/5 con α en el segundo cuadrante, calcula cos α y tan α.
cos α = −3/5; tan α = −4/3Ver resolución
Si sin α = 4/5, por el teorema de Pitágoras el coseno en valor absoluto es √(1 − (4/5)^2) = 3/5. En el segundo cuadrante el coseno es negativo, por lo que cos α = −3/5. La tangente es sin/cos = (4/5)/(−3/5) = −4/3.
Resuelve 2·cos² x − 1 = 0 en 0° ≤ x ≤ 360°.
x = 45°, 135°, 225°, 315°Ver resolución
La ecuación es cos² x = 1/2. El coseno vale ±1/√2 en cuatro cuadrantes: 45°, 135°, 225° y 315°.
En un triángulo ABC con b = 7, c = 5 y ángulo A = 60°, calcula el lado a usando el teorema del coseno.
a = √39 ≈ 6,24Ver resolución
El teorema del coseno establece a² = b² + c² − 2·b·c·cos A. Sustituyendo: a² = 7² + 5² − 2·7·5·cos 60° = 49 + 25 − 70·0,5 = 39. Por tanto a = √39 ≈ 6,24.
En un triángulo con lados a = 8, b = 6, c = 10, calcula el ángulo C opuesto a c.
C = 90°Ver resolución
Aplicando el teorema del coseno: cos C = (a² + b² − c²) / (2·a·b) = (64 + 36 − 100)/(2·8·6) = 0. Un coseno nulo corresponde a un ángulo recto: C = 90°.
En un triángulo ABC con a = 5, b = 7 y ángulo A = 30°, calcula el ángulo B usando el teorema del seno.
B ≈ 44,4°Ver resolución
Por la ley del seno: sin B / b = sin A / a = sin 30°/5 = 0,1. Por tanto sin B = 0,7. El ángulo cuyo seno es 0,7 en el intervalo 0°‑180° es B ≈ 44,4°. (La otra solución 180° − 44,4° ≈ 135,6° se descarta porque sumada a A sobrepasaría 180°).
Resuelve 2·cos² x − 3·sin x + 1 = 0 para 0° ≤ x ≤ 360°.
x ≈ 43,4°, 136,6°Ver resolución
Sustituyendo cos² x = 1 − sin² x se obtiene 2(1 − sin² x) − 3·sin x + 1 = 0 ⇒ −2·sin² x − 3·sin x + 3 = 0. Multiplicando por −1: 2·sin² x + 3·sin x − 3 = 0. Resolviendo la ecuación cuadrática para sin x se obtiene sin x = (−3 + √33)/4 ≈ 0,686 (la otra raíz no es válida). Entonces x ≈ 43,4° o 180° − 43,4° = 136,6°.
